本征值，本征向量，不变子空间

本征值，本征向量，不变子空间

5.A 不变子空间

设称的子空间在下不变，如果对每个都有

本征值和本征向量

本征值

设称数为的的本征值，若存在使得且5,6be

5.6本征值的等价条件

设是有限维的，且. 则下面条件等价：

$$\begin{flalign} &(a)\lambda 是T的本征值.&\\ &(b)T-\lambda I不是单的.\\ &(c)T-\lambda I不是满的.\\ &(d)T-\lambda I不是可逆的. \end{flalign}$$ $$\begin{flalign} & null(T-\lambda I)=\{0\}&\\ & dim RangeT+dimNullT=dimV(use \ \dim\ V<\infty)&\\ \end{flalign}$$

5.7本征向量

设并设是的本征值，则称对应的向量成为本征向量，如果且.

5.10 线性无关的本征向量

设设是互不相同的本征值,则其相应本征向量线性无关.

$$\begin{flalign} & 设v_k\in span<v_1...v_{k-1}>&\\ & v_k=a_1v_1+..a_{k-1}v_{k-1} 、\quad式1\\ & 让T作用与两边\\ & \lambda_k v_k=a_1\lambda_1 v_1+..+a_{k-1}\lambda_{k-1} \quad 式2\\ & 式1\times\lambda_k-式子2=0=a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+...+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)\\ & 说明\exist i,\lambda_i=\lambda_k\\ & 矛盾. \end{flalign}$$

限制算子与商算子

若且是的在下不变的子空间，则以自然的方式确定了另外两个算子和

定义 限制算子(restriction operator) , 商算子(quotient operator)

商算子:

一些习题

习题15：设且可逆。

(a)证明与有相同的特征值。

(b)的特征值和的特征值有什么关系？

习题16：设是复向量空间，且关于的某些基的矩阵只包含实数，证明，若是特征值，则也是特征值。

习题23：设是有限维向量空间且 ，那么特征值与相同

习题35：设是有限维向量空间，且在下不变，证明每个的特征值都是的特征值（习题36）验证有限维是必须的

5.B 本征向量与上三角矩阵

多项式作用于算子

5.17 定义

设对有 那么定义 是算子

5.21 复向量空间上的算子都有本征值

有限维非零复向量空间上的每个算子都有本征值

$$\begin{flalign} & 证明：&\\ & V是n维线性空间，所以v,Tv,T^2v...T^nv线性相关 &\\ & \exist a_0,..a_n 不全为零(且a_1..a_n不能全为零)&\\ & 0=a_0v+a_1Tv+..+a_nT^nv=(a_0I+a_1T+..)v\\ &\ \ =c(T-\lambda_1I)...(T-\lambda_mI)v\\ & 至少存在一个j使得(T-\lambda_jI)不是单的 \end{flalign}$$

5.26 上三角矩阵

上三角矩阵的条件

设且是的基，则以下条件等价

(a) 关于的矩阵是上三角的

(b) 对每个 ，有$Tv_j\in span$

(c) 对于每个，$spanT$下的不变子空间

5,27在上，每个算子均有三角矩阵

设是复向量空间，是上的线性算子，存在一组基，使其矩阵为三角矩阵。

$$\begin{flalign} & 用归纳法证明:&\\ & 设有限维空间V\ \ dimV=1时成立\\ & 设dimV=m时成立\\ & 考虑dimV=m+1\\ & 设U=range(T-\lambda I)(\lambda是特征值,一定存在)\\ & 因为T-\lambda I不是满射,所以dimU<dimV\\ & 所以能找到基w_1...w_n(n<m)使得\forall j,Tw_j\in span<w_1..w_j>\\ & 将其扩充为V的一个基 w_1..w_mv_1..v_{n-m}\\ & (T-\lambda I)v=Tv-\lambda Iv\in U\\ & 所以Tv_k\in span<w_1..w_n,v_1..v_k> \end{flalign}$$ $$\begin{flalign} & 还是归纳法&\\ & 设dimV=n,令U=span<v_1>,dimV/U=n-1\\ & 所以对于V/U,能找到基使得有上三角矩阵\\ & (T/U)(v_j+U)=a_1(v_2+U)+..+a_{j}(v_{j}+U)\\ & 可知 Tv_j\in span<v_1..v_j> \end{flalign}$$

5.30从上三角矩阵确定可逆性

设关于的某个基有上三角矩阵，则的本征值恰为这个上三角角矩阵对角线上的元素。

$$\begin{flalign} &证明:&\\ &设v_1..v_n是V的某个基有上三角矩阵 &\\ & M(T)=\begin{pmatrix} \lambda_1 &\dots \\& \ddots &\vdots\\ 0&\dots &\lambda_n\end{pmatrix} \\ & 我们要证明:T是可逆的当且仅当所有\lambda_j均不为0\\ & 首先设对角线元素均不为零,显然Tv_1=\lambda v_1,所以T(v_1/\lambda)=v_1\in range T\\ & 可得v_i\in range T,所以是满的，于是可逆\\ & 现在证明另外一个方向,设T是可逆的\\ & 有\lambda_1\neq0,因为若\lambda_1=0,有 Tv_1=0,那么就不是可逆的\\ & 设\lambda_j=0,那么有span<v_1..v_j>\sub span<v_1...v_{j-1}>\\ & dimspan<v_1..v_j>>dimspan<v_1...v_{j-1}>\\ & 所以不是单射,矛盾 \end{flalign}$$

5.32 从上三角矩阵确定本征值

设关于V的某个基有上三角矩阵，那么的本征值恰好是对角线上的元素

$$\begin{flalign} & 证明 设v_1..v_n是V的基，并且T关于该基矩阵为三角矩阵&\\ & \mathcal{M}(T)= \begin{pmatrix} \lambda_1 &\dots&*\\ &\ddots\\ 0 &\dots &\lambda_n \end{pmatrix} \\ & 设\lambda\in \textbf{F} 则\\ & \mathcal{M}(T-\lambda I)= \begin{pmatrix} \lambda_1-\lambda &\dots &*\\ &\ddots\\ 0 &\dots &\lambda_n-\lambda \end{pmatrix} 当且仅当\lambda=\lambda_i\\ \end{flalign}$$

一些例题

5.C 本征空间与对角矩阵

5.36 本征空间

定义:设且.的相应于的本征空间(记作E(T,))

$$E(\lambda,T)=null(T-\lambda I)$$

5.38 本征空间之和是直和

设是有限维的,设是互相的本征值，则

$$E(\lambda_1,T)+...E(\lambda_m,T)$$

是直和，此外

$$dimE(\lambda_1,T)+..+dimE(\lambda_m,T)\leqslant dim V$$

5.41 可对角化的等价条件

设是有限维的，用表示所有的本征值，下列条件等价

(a) 可对角化;

(b)有由的本征向量构成的基;

(c)有在下不变的一维子空间使得

(d)

(e)

$$\begin{flalign} & 证明&\\ & \end{flalign}$$

5.44 本征值足够多即可对角化

设是维线性空间，，且有个互异的本征值，那么可以对角化

5.44的逆命题不成立

一些例题

1.设可以对角化；证明