线性映射

线性映射

线性映射的核与像

定理：

$$\begin{flalign} &\ 证明：&\\ &\ 设T:V\to W \\ &\ 必要性:设T为单射，有T0=0，所以NullT=0\\ &\ 充分性:设v_1,v_2\in V \ \ T(v_1)-T(v_2)=T(v_1-v_2)\ \ 若NullT=0 \ \ 那么有v_1=v_2 \ \ 命题成立 \end{flalign}$$

定理：

Prove:

Let be a basis of Null T; Thus dim Null T=m, The linearly independent list

can be extended to a basisof V ,thus dim V=m+n. Let

$$v=a_1u_1+a_2u_2...a_mu_m+b_1v_1+..b_nv_n &\\ Tv= b_1Tv_1+..b_nTv_n$$

Thus dim Range T=n.

3.23 A map to a smaller dimensional space is not rejective

A map to larger dimensional space is not surjective

Use the example above,we ,we have a homogeneous system of m linear equations with n variables . From 3.23 we see that T is not injective if n>m, so that the homogeneous do not have the unique answer.

Matrices

We can use Matrices to represent a linear map

$$\begin{flalign} & T\in\mathcal{L}(V,W)&\\ & Tv=C_1w_1+...+C_mw_m&\\ & Tv_i=\sum C_{ij}w_j \end{flalign}$$ $$A_{ij} \begin{pmatrix} w_1 \\w_2\\w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}$$

so that the linear map can represent homogenous.

Invertibility and Isomorphic Vector Spaces

A linear map is invertible if and only if it is injective and surjective.

Proof : Suppose . We need to show that T is invertible if and only if it is injective and surjective.

First suppose T is invertible. To show that T is injective, suppose and . Then ; so . Hence T is injective.

Then , so that u is surjected.

线性映射的乘积

hence

商空间

定义

那么

可以证明 加法是有意义的

证明：映射

对偶

对偶空间与对偶映射

定义：线性泛函

上的线性泛函是从到的线性映射，也就是说是中的元素

定义：对偶空间 (dual space)

上的所有线性泛函构成的线性空间

3.95

定义：对偶基（dual basis）

设的基，则的对偶基是指中的元素是的

$$\varphi_j(v_k)=\left\{ \begin{aligned} 1 \ \qquad 当k=j\\ 0 \ \qquad 当k\ne j\\ \end{aligned} \right.$$

3.98 对偶基是对偶空间的基

3.99 对偶映射

的对偶映射对于

对偶的性质：

线性映射对偶的零空间和值域

定义 ：零子化(annihilator)

对于的零子化是指

$$U_0:=\{ \varphi\in V'|\forall u\in U,st .\varphi(u)=0\}$$

零子化子空间的维数

设是有限维的，是的子空间，则

$$dimU=dimV-dimU^0$$ $$\begin{flalign} & 证明: &\\ & 设i \in \mathcal{L}(V,W)是包含映射 \quad i(u)=u&\\ & 考虑i'\in \mathcal{L}(V',W')&\\ & dimV'=dimNulli'+dimRangei'&\\ & dimV'=dimV \quad Nulli'=dimU^0 \quad &\\ & 对于\varphi\in U'\quad 能够扩展为V'上的线性泛函\psi&\\ & 那么i'(\psi)=\varphi\quad 所以\varphi\in Rangei'&\\ & 所以dimi'=dimU’=dimU \end{flalign}$$

T’的零空间

设和都是有限维， 则

(a)(可以无限维)

(b)

$$\begin{flalign} & 证明：&\\ & (a)设\varphi\in null T'\quad 0=T'(\varphi)v=\varphi Tv=\varphi(Tv)=0&\\ & 所以\varphi\in(rangeT)^0\\ & 设\varphi\in(rangeT)^0\quad 所以0=\varphi T=T'(\varphi)=0\\ & 所以\varphi\in null T'\\ &(b)dimnullT'=dim(rangeT)^0=dimrangeW-dimrangeT\\ & =dimW-(dimV-dimnullT)=dimW-dimV+dimnullT \end{flalign}$$

3.108T是满的当且仅当T’是单的

3.109T’的值域

3.110T是单的当且仅当T’是满的

对偶映射的矩阵

矩阵的转置

矩阵转置的乘法

$$\begin{flalign} & Prove:&\\ & (ST)_{ij}^t=(ST)_{ji}=\sum\limits_{r=1} A_{jr}C_{ri}=\sum\limits_{r=1}C_{ir}^tA_{rj}^t=T^tS^t&\\ & \end{flalign}$$

T’的矩阵是T矩阵的转置

设 中的基中的基 中的对偶基 中的对偶基

Prove:

$$T'(\psi_j)&=\sum\limits_{r=1} C_{jr}\varphi_r\\$$

上式的左边等于

$$\begin{flalign} \psi_j T(v_k)&=\sum C_{jr}\varphi_r(v_k) \\ &=C_{jk} \end{flalign}$$

同时有

$$\begin{flalign} \psi_j(Tv_k)&=\psi_j(\sum A_{kr}w_r)\\ &=\sum A_{kj} \end{flalign}$$

所以

所以

矩阵的秩

定义：列向量张成空间的维数

列秩

$$\begin{flalign} &Prove: &\\ & v_1...v_n\in V 是一个基\\ & span<Tv_1..Tv_n>与span<\mathcal{M}(Tv_1)..>同构\\ & 所以dim相同 \ \ 后者等于列秩 \end{flalign}$$

行秩等于列秩

一些习题