基本定义

基本定义

域的定义

域是满足加法公理有加法单位元，乘法公理乘法单位元的非空封闭集合

域中的元素被称为标量

向量空间的定义

向量空间是满足加法标量乘法的集合V

子空间

是向量空间的子集

子空间的和与直和

与

一些例题

• 举出中满足标量乘法但不是子空间的子集

• 当三个集合的并集是线性空间当且仅当其中两个集合包含与另外一个

只考虑一种情况互不相交

$$\begin{flalign} &\ 证明\exists u,v \ \ u+v\notin W &\\ &\ 设\forall u,v \ \ u+v=w\in W \\ &\ 取u=u_1+u_2 \ \ u_i\in U \\ &\ 那么有u+v=w=u_1+u_2+v=u_1+w_1=w\\ &\ 那么有u_1\in W\\ &\ 矛盾 \end{flalign}$$

有限维向量空间

空间的基

定理：有限维向量空间的基组数一定相同

（基的长度不依赖与基的选取）

$$\begin{flalign} &\ 设有两组基 v_1..v_n和w_1..w_m (n<m) &\\ &\ 对于v_1..v_n加入一个向量w\ \ 则向量组线性相关\ \ 并且可以去掉某个v_i使其重现变成基\\ &\ 那么分别加入w_1..w_n\ \ 得到一组基 \ \ 所以m\leqslant n\\ &\ 所以任意两个基组数相同 \end{flalign}$$

定理：从任意一个线性无关组能扩充成一个基

$$\begin{flalign} &\ 对于任意一个线性无关组v_1,..v_m&\\ &\ 取一组基w_1...w_n\\ &\ 将两者合并\ \ 得到 v_1...v_m,w_1...w_n\\ &\ 使用下述算法将其化简\\ &\ 1.从v_1开始\ \ 若v_i=0弃去v_i否则保留v_i并进行第二部\\ &\ 2.若v_i\in<v_{1'}..v_{(i-1)'}>放弃v_i \ \ 否则将v_i加入组 ，对w同理\\ &\ 共进行n+m步骤\ \ 这样就将其扩展成了一组基 \end{flalign}$$