paci的赛博蜗牛壳

what

发表于 2022-11-30

学了一点点，感觉真的，信息技术是一种翻译工作，在人与计算机之间做翻译。
不过算法就不一样，那是在创造翻译的内容。
希望随着学习的深入能有更多的了解。
与此同时认为抽象越来越无用。所谓高屋建瓴的认识有些鸡肋的感觉，至少不应该在那之上花太多时间，也就是所谓“抽象废话”应该更实际更细节的去认真学习，不要希望更高观点能改变什么

尝试

发表于 2022-11-28

重要的是写什么，而不是怎么写

11.28

倒腾了半边数学公式还是不支持，而且有一篇莫名其妙的传不上去，就先这样吧。不指望用这个写数学，顺便的，也不想学数学。
还是今天，数学公式突然就管用了，但是调的奇奇怪怪的又出了别的问题
弄了个很简单简陋的博客，感觉这个主题还是差很多很多东西啊。至少应该可以搜索和直接按标签分类吧，以后想办法弄上这些东西。其次，这个过程还是，习惯不太好，遇到一点点弱智问题就下意识的去问，其实完全可以自己搜到的，应该考虑到别人的时间和对自己搜索和阅读能力的锻炼，而不是老是让别人手把手教。
目前还不能显示图片。。。

基本定义

发表于 2022-11-28

基本定义

域的定义

域是满足加法公理有加法单位元，乘法公理乘法单位元的非空封闭集合

域中的元素被称为标量

向量空间的定义

向量空间是满足加法标量乘法的集合V

子空间

是向量空间的子集

子空间的和与直和

与

一些例题

举出中满足标量乘法但不是子空间的子集

$时$

$时$

当三个集合的并集是线性空间当且仅当其中两个集合包含与另外一个

只考虑一种情况互不相交

$\begin{flalign} &\ 证明\exists u,v \ \ u+v\notin W &\\ &\ 设\forall u,v \ \ u+v=w\in W \\ &\ 取u=u_1+u_2 \ \ u_i\in U \\ &\ 那么有u+v=w=u_1+u_2+v=u_1+w_1=w\\ &\ 那么有u_1\in W\\ &\ 矛盾 \end{flalign}$

有限维向量空间

空间的基

定理：有限维向量空间的基组数一定相同

（基的长度不依赖与基的选取）

$\begin{flalign} &\ 设有两组基 v_1..v_n和w_1..w_m (n<m) &\\ &\ 对于v_1..v_n加入一个向量w\ \ 则向量组线性相关\ \ 并且可以去掉某个v_i使其重现变成基\\ &\ 那么分别加入w_1..w_n\ \ 得到一组基 \ \ 所以m\leqslant n\\ &\ 所以任意两个基组数相同 \end{flalign}$

定理：从任意一个线性无关组能扩充成一个基

$\begin{flalign} &\ 对于任意一个线性无关组v_1,..v_m&\\ &\ 取一组基w_1...w_n\\ &\ 将两者合并\ \ 得到 v_1...v_m,w_1...w_n\\ &\ 使用下述算法将其化简\\ &\ 1.从v_1开始\ \ 若v_i=0弃去v_i否则保留v_i并进行第二部\\ &\ 2.若v_i\in<v_{1'}..v_{(i-1)'}>放弃v_i \ \ 否则将v_i加入组，对w同理\\ &\ 共进行n+m步骤\ \ 这样就将其扩展成了一组基 \end{flalign}$

线性映射

发表于 2022-11-28

线性映射

线性映射的核与像

定理：

$为单射当且仅当$

$\begin{flalign} &\ 证明：&\\ &\ 设T:V\to W \\ &\ 必要性:设T为单射，有T0=0，所以NullT=0\\ &\ 充分性:设v_1,v_2\in V \ \ T(v_1)-T(v_2)=T(v_1-v_2)\ \ 若NullT=0 \ \ 那么有v_1=v_2 \ \ 命题成立 \end{flalign}$

定理：

Prove:

Let be a basis of Null T; Thus dim Null T=m, The linearly independent list

can be extended to a basisof V ,thus dim V=m+n. Let

$v=a_1u_1+a_2u_2...a_mu_m+b_1v_1+..b_nv_n &\\ Tv= b_1Tv_1+..b_nTv_n$

Thus dim Range T=n.

3.23 A map to a smaller dimensional space is not rejective

A map to larger dimensional space is not surjective

Use the example above,we ,we have a homogeneous system of m linear equations with n variables . From 3.23 we see that T is not injective if n>m, so that the homogeneous do not have the unique answer.

Matrices

We can use Matrices to represent a linear map

$\begin{flalign} & T\in\mathcal{L}(V,W)&\\ & Tv=C_1w_1+...+C_mw_m&\\ & Tv_i=\sum C_{ij}w_j \end{flalign}$ $A_{ij} \begin{pmatrix} w_1 \\w_2\\w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}$

so that the linear map can represent homogenous.

Invertibility and Isomorphic Vector Spaces

A linear map is invertible if and only if it is injective and surjective.

Proof : Suppose . We need to show that T is invertible if and only if it is injective and surjective.

First suppose T is invertible. To show that T is injective, suppose and . Then ; so . Hence T is injective.

Then , so that u is surjected.

线性映射的乘积

hence

商空间

定义

那么

可以证明加法是有意义的

证明：映射

对偶

对偶空间与对偶映射

定义：线性泛函

上的线性泛函是从到的线性映射，也就是说是中的元素

定义：对偶空间 (dual space)

上的所有线性泛函构成的线性空间

3.95

定义：对偶基（dual basis）

设的基，则的对偶基是指中的元素是的

$\varphi_j(v_k)=\left\{ \begin{aligned} 1 \ \qquad 当k=j\\ 0 \ \qquad 当k\ne j\\ \end{aligned} \right.$

3.98 对偶基是对偶空间的基

3.99 对偶映射

的对偶映射对于

对偶的性质：

线性映射对偶的零空间和值域

定义：零子化(annihilator)

对于的零子化是指

$U_0:=\{ \varphi\in V'|\forall u\in U,st .\varphi(u)=0\}$

零子化子空间的维数

设是有限维的，是的子空间，则

$dimU=dimV-dimU^0$ $\begin{flalign} & 证明: &\\ & 设i \in \mathcal{L}(V,W)是包含映射 \quad i(u)=u&\\ & 考虑i'\in \mathcal{L}(V',W')&\\ & dimV'=dimNulli'+dimRangei'&\\ & dimV'=dimV \quad Nulli'=dimU^0 \quad &\\ & 对于\varphi\in U'\quad 能够扩展为V'上的线性泛函\psi&\\ & 那么i'(\psi)=\varphi\quad 所以\varphi\in Rangei'&\\ & 所以dimi'=dimU’=dimU \end{flalign}$

T’的零空间

设和都是有限维，则

(a)(可以无限维)

(b)

$\begin{flalign} & 证明：&\\ & (a)设\varphi\in null T'\quad 0=T'(\varphi)v=\varphi Tv=\varphi(Tv)=0&\\ & 所以\varphi\in(rangeT)^0\\ & 设\varphi\in(rangeT)^0\quad 所以0=\varphi T=T'(\varphi)=0\\ & 所以\varphi\in null T'\\ &(b)dimnullT'=dim(rangeT)^0=dimrangeW-dimrangeT\\ & =dimW-(dimV-dimnullT)=dimW-dimV+dimnullT \end{flalign}$

3.108T是满的当且仅当T’是单的

3.109T’的值域

3.110T是单的当且仅当T’是满的

对偶映射的矩阵

矩阵的转置

矩阵转置的乘法

$\begin{flalign} & Prove:&\\ & (ST)_{ij}^t=(ST)_{ji}=\sum\limits_{r=1} A_{jr}C_{ri}=\sum\limits_{r=1}C_{ir}^tA_{rj}^t=T^tS^t&\\ & \end{flalign}$

T’的矩阵是T矩阵的转置

设中的基 $，$ 中的基中的对偶基中的对偶基

Prove:

$T'(\psi_j)&=\sum\limits_{r=1} C_{jr}\varphi_r\\$

上式的左边等于

$\begin{flalign} \psi_j T(v_k)&=\sum C_{jr}\varphi_r(v_k) \\ &=C_{jk} \end{flalign}$

同时有

$\begin{flalign} \psi_j(Tv_k)&=\psi_j(\sum A_{kr}w_r)\\ &=\sum A_{kj} \end{flalign}$

所以

矩阵的秩

定义：列向量张成空间的维数

列秩

$\begin{flalign} &Prove: &\\ & v_1...v_n\in V 是一个基\\ & span<Tv_1..Tv_n>与span<\mathcal{M}(Tv_1)..>同构\\ & 所以dim相同 \ \ 后者等于列秩 \end{flalign}$

行秩等于列秩

一些习题

多项式

发表于 2022-11-28

多项式

4.7 若一个多项式是零函数，则其所有系数均为零

4.8 多项式余除法

设且则存在唯一的多项式使得且

多项式的每个零点对应一个一次因式子

设当且仅当

4.12多项式零点的个数不超过它的次数

本征值，本征向量，不变子空间

发表于 2022-11-28

本征值，本征向量，不变子空间

5.A 不变子空间

设称的子空间在下不变，如果对每个都有

本征值和本征向量

本征值

设称数为的的本征值，若存在使得且5,6be

5.6本征值的等价条件

设是有限维的，且. 则下面条件等价：

$\begin{flalign} &(a)\lambda 是T的本征值.&\\ &(b)T-\lambda I不是单的.\\ &(c)T-\lambda I不是满的.\\ &(d)T-\lambda I不是可逆的. \end{flalign}$ $\begin{flalign} & null(T-\lambda I)=\{0\}&\\ & dim RangeT+dimNullT=dimV(use \ \dim\ V<\infty)&\\ \end{flalign}$

5.7本征向量

设并设是的本征值，则称对应的向量成为本征向量，如果且.

5.10 线性无关的本征向量

设设是互不相同的本征值,则其相应本征向量线性无关.

$\begin{flalign} & 设v_k\in span<v_1...v_{k-1}>&\\ & v_k=a_1v_1+..a_{k-1}v_{k-1} 、\quad式1\\ & 让T作用与两边\\ & \lambda_k v_k=a_1\lambda_1 v_1+..+a_{k-1}\lambda_{k-1} \quad 式2\\ & 式1\times\lambda_k-式子2=0=a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+...+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)\\ & 说明\exist i,\lambda_i=\lambda_k\\ & 矛盾. \end{flalign}$

限制算子与商算子

若且是的在下不变的子空间，则以自然的方式确定了另外两个算子和

定义限制算子(restriction operator) , 商算子(quotient operator)

商算子:

一些习题

习题15：设且可逆。

(a)证明与有相同的特征值。

(b)的特征值和的特征值有什么关系？

习题16：设是复向量空间，且关于的某些基的矩阵只包含实数，证明，若是特征值，则也是特征值。

习题23：设是有限维向量空间且，那么特征值与相同

习题35：设是有限维向量空间，且在下不变，证明每个的特征值都是的特征值（习题36）验证有限维是必须的

5.B 本征向量与上三角矩阵

多项式作用于算子

5.17 定义

设对有那么定义是算子

5.21 复向量空间上的算子都有本征值

有限维非零复向量空间上的每个算子都有本征值

$\begin{flalign} & 证明：&\\ & V是n维线性空间，所以v,Tv,T^2v...T^nv线性相关 &\\ & \exist a_0,..a_n 不全为零(且a_1..a_n不能全为零)&\\ & 0=a_0v+a_1Tv+..+a_nT^nv=(a_0I+a_1T+..)v\\ &\ \ =c(T-\lambda_1I)...(T-\lambda_mI)v\\ & 至少存在一个j使得(T-\lambda_jI)不是单的 \end{flalign}$

5.26 上三角矩阵

上三角矩阵的条件

设且是的基，则以下条件等价

(a) 关于的矩阵是上三角的

(b) 对每个，有$Tv_j\in span$

5,27在上，每个算子均有三角矩阵

设是复向量空间，是上的线性算子，存在一组基，使其矩阵为三角矩阵。

$\begin{flalign} & 用归纳法证明:&\\ & 设有限维空间V\ \ dimV=1时成立\\ & 设dimV=m时成立\\ & 考虑dimV=m+1\\ & 设U=range(T-\lambda I)(\lambda是特征值,一定存在)\\ & 因为T-\lambda I不是满射,所以dimU<dimV\\ & 所以能找到基w_1...w_n(n<m)使得\forall j,Tw_j\in span<w_1..w_j>\\ & 将其扩充为V的一个基 w_1..w_mv_1..v_{n-m}\\ & (T-\lambda I)v=Tv-\lambda Iv\in U\\ & 所以Tv_k\in span<w_1..w_n,v_1..v_k> \end{flalign}$ $\begin{flalign} & 还是归纳法&\\ & 设dimV=n,令U=span<v_1>,dimV/U=n-1\\ & 所以对于V/U,能找到基使得有上三角矩阵\\ & (T/U)(v_j+U)=a_1(v_2+U)+..+a_{j}(v_{j}+U)\\ & 可知 Tv_j\in span<v_1..v_j> \end{flalign}$

5.30从上三角矩阵确定可逆性

设关于的某个基有上三角矩阵，则的本征值恰为这个上三角角矩阵对角线上的元素。

$\begin{flalign} &证明:&\\ &设v_1..v_n是V的某个基有上三角矩阵 &\\ & M(T)=\begin{pmatrix} \lambda_1 &\dots \\& \ddots &\vdots\\ 0&\dots &\lambda_n\end{pmatrix} \\ & 我们要证明:T是可逆的当且仅当所有\lambda_j均不为0\\ & 首先设对角线元素均不为零,显然Tv_1=\lambda v_1,所以T(v_1/\lambda)=v_1\in range T\\ & 可得v_i\in range T,所以是满的，于是可逆\\ & 现在证明另外一个方向,设T是可逆的\\ & 有\lambda_1\neq0,因为若\lambda_1=0,有 Tv_1=0,那么就不是可逆的\\ & 设\lambda_j=0,那么有span<v_1..v_j>\sub span<v_1...v_{j-1}>\\ & dimspan<v_1..v_j>>dimspan<v_1...v_{j-1}>\\ & 所以不是单射,矛盾 \end{flalign}$

5.32 从上三角矩阵确定本征值

设关于V的某个基有上三角矩阵，那么的本征值恰好是对角线上的元素

$\begin{flalign} & 证明设v_1..v_n是V的基，并且T关于该基矩阵为三角矩阵&\\ & \mathcal{M}(T)= \begin{pmatrix} \lambda_1 &\dots&*\\ &\ddots\\ 0 &\dots &\lambda_n \end{pmatrix} \\ & 设\lambda\in \textbf{F} 则\\ & \mathcal{M}(T-\lambda I)= \begin{pmatrix} \lambda_1-\lambda &\dots &*\\ &\ddots\\ 0 &\dots &\lambda_n-\lambda \end{pmatrix} 当且仅当\lambda=\lambda_i\\ \end{flalign}$

一些例题

5.C 本征空间与对角矩阵

5.36 本征空间

定义:设且.的相应于的本征空间(记作E(T,))

$E(\lambda,T)=null(T-\lambda I)$

5.38 本征空间之和是直和

设是有限维的,设是互相的本征值，则

$E(\lambda_1,T)+...E(\lambda_m,T)$

是直和，此外

$dimE(\lambda_1,T)+..+dimE(\lambda_m,T)\leqslant dim V$

5.41 可对角化的等价条件

设是有限维的，用表示所有的本征值，下列条件等价

(a) 可对角化;

(b)有由的本征向量构成的基;

(c)有在下不变的一维子空间使得

(d)

(e)

$\begin{flalign} & 证明&\\ & \end{flalign}$

5.44 本征值足够多即可对角化

设是维线性空间，，且有个互异的本征值，那么可以对角化

5.44的逆命题不成立

一些例题

1.设可以对角化；证明

内积空间

发表于 2022-11-28

6.A内积空间

内积与范数

内积

点积定义：

定义内积:

上的内积就是一个函数，它把中的元素的每个有序对都映成一个数并且具有下列性质：

正性 positivity对所有均有

定性 definiteness 当当且仅当

第一个位置的加性 additivity in first slot

第一个位置的齐性 homogeneity in first slot

共轭对称性 conjugate symmetry

范数

6.8 范数的定义

6.10 范数的基本性质

(a) 当且仅当

(b) 对所有的

6.14 正交分解

设取且有 ,那么$w=u-\dfrac{\lang u,v \rang}

Hello World

发表于 2022-11-27 更新于 2022-11-28

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